★★數學思維是一種必備知識，也是一種核心技能★★

――――超過50,000人都在學，最容易上手的數學思維學習書――――
了解事物的本質，正確運用邏輯思考，循序漸進解決問題

★畢達哥拉斯獎、卡爾•沙根科普獎得主，《數學的語言》作者又一力作
★百萬人爭讀、比臉書和推特用戶成長更快――超夯線上教育平台Coursera廣受歡迎的公開課
★臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀•合譯

空白頁上寫著「此頁留白」，那一頁到底是不是空白的？
所有的鳥類都會飛，所有的美洲豹都有斑紋……請證明給我看！
有些大象不喜歡鬆餅……每個人都愛著某個人……
(大象會爬樹) ⇒ ( 3是無理數)
(歐幾里得的生日是7月4日) ⇒ (長方形有四個邊)
(凱撒死了) ⇒ (π > 3)
若蘋果紅了，則它可以吃了
看起來理所當然的事，真的如此確定無誤嗎？

▍為什麼要用數學來思考？

數學不是只有＋－×÷、函數、微積分，但是，用數學來思考可以幫我們做什麼？
►讓我們有能力來提出明確的關鍵性問題
►讓我們以數學的嚴謹來識別和描述問題
►讓我們用數學的精確來分析和解答問題

▍誰需要學習數學思考？

讓思考從混亂、令人沮喪、有時看起來不可能，到具有決定性的解析思維能力！
►希望提升分析思考技巧和擁有創新思維的人
►高中生、大學生，打算主修數學比重高的科目的學生
►無法藉由尋找樣板來依循、無法找公式來代換數值或套程序來應用的人

▍為什麼要用這本書來學數學思考？

完全用不到數學步驟的數學思維入門課，大師親授一流的思考法則！
►史丹佛大學教授最熱門的開放式數學課菁華集結
►超過50,000人搶讀的線上開放學習平台Coursera課程同名專書
►像學習騎腳踏車一樣的數學思維訓練，剛開始總是跌倒，成功卻非遙不可及

▍先理解問題的意義，再依序解決問題

數學家說，在他還沒有證明，或是尚未看到具有說服力的證明之前，他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。
「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算；「數學思維」則是一種思考事物的明確方法，且思考對象不限於數學。
如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去，或者一個程序來應用，那麼，你該怎麼辦？
答案是：思考這個問題！

本書作者齊斯‧德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家，致力於對大眾教授和傳播數學。
他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程，吸引了全球超過50,000人爭相註冊，本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。

本書的目標是協助發展數學思維的方法，而不是學習記誦一堆千篇一律的規則，窒礙了你的思考！
無論是希望提升分析思考技巧的讀者，或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生，都能從書中學習到如何研究一個新問題，換個方式思考直覺看來正確的事物。
讓看不見的得以被看見，讓不可解的問題得以被解決，讓我們學習像數學家一樣思考！
 

作者簡介齊斯‧德福林Keith Devlin史丹佛大學數學家及該校人文科學與先端科技研究中心（H-STAR）共同創辦人和執行長，也是該校Media X研究計畫創立人之一，以及該校語言資訊研究中心（CSLI）資深研究員，世界經濟論壇院士及美國科學促進協會（American Association for the Advancement of Science）會士。現階段研究重點是運用各種媒材，向各類型的聽眾教授和傳播數學，同時致力於設計情報分析的資訊及推論系統。研究興趣還包括訊息理論、推理模式、數學技巧在傳播研究上的應用，以及數學認知等。2003年，以「在數學領域以及數學與邏輯學、語言學間關係的創新研究和長期耕耘」，獲得加州眾議院表揚。主持美國國家公共廣播電台《數學小子》（Math Guy）節目。著有《數學的語言》（The Language of Mathematics）等書。相關著作:《這個問題，你用數學方式想過嗎？：史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課，大師教你像數學家一樣思考，讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力》譯者簡介洪萬生美國紐約市立大學（CUNY）博士，主修數學史、科學史，輔修數學哲學、科學哲學。曾任職臺灣師範大學數學系，講授數學（社會）史、數學哲學與HPM（數學史與數學教育之關連）專題，並主持「台灣數學博物館」（http://science.math.ntnu.edu.tw/museum）網站，透過網路結合科普同好，分享國內外數學普及活動的學術與教育資源，對於推廣數學普及讀物的書寫、出版及閱讀不遺餘力。黃俊瑋國立臺灣師範大學數學系博士候選人，主修數學史。譯有《數學偵探物語》、《掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π》等書，並與洪萬生教授等人合著《摺摺稱奇：初登大雅之堂的摺紙數學》。期望透過數學普及閱讀與數學教育之結合，以更加豐富、多元而開放的面向，增進學生的數學思維與數學素養。蘇惠玉高雄人，國立臺灣師範大學數學系碩士，現任台北市立西松高中數學教師，並擔任《HPM通訊》主編。陳彥宏國立臺灣師範大學數學系碩士，現任台北市成功高中數學教師。葉吉海國立臺灣師範大學數學系碩士，現任桃園國立陽明高中數學科教師，喜歡在課堂上將數學有趣的面向與教材結合，讓學生更喜愛高中數學。

導讀   洪萬生
序言

導論：本書之為用

1. 數學是什麼？
    1.1 遠超過算術
    1.2 數學的符號
    1.3 現代大學程度的數學
    1.4 為什麼你必須學習這些東西？

2 將語言精確化
   2.1 數學述句
   2.2 邏輯連詞：且、或以及非
   2.3 蘊涵
   2.4 量詞

3 證明
   3.1 何謂證明？
   3.2 反證法
   3.3 證明條件句
   3.4 證明量化命題
   3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
   4.1 整數
   4.2 實數
   4.3 完備性
   4.4 數列

附錄：集合論

索引
 

◎遠超過算術 許多在現今科學與工程中使用的數學，不過只有三、四百年那麼老，有一些的年紀還小於一個世紀；然而，典型的高中課程中所包含的數學，至少都有那麼老――有些甚至已經超過兩千年了！ 在現今，教導某些這麼老舊的知識並沒有錯，如同諺語所說的，如果東西沒有壞，就不要修。那些說阿拉伯語的貿易商在8、9世紀所發展的代數學（algebra﹝代數﹞這個字來自於阿拉伯文的al-jabr，意思是「還原」﹝restoration﹞或是「分開部分的重聚」﹝reunion of broken parts﹞），被用來增進他們商業交易的便利性，到如今依舊如當時一般的有用以及重要，即使今日我們可能使用可觀的電子試算表來實施運算，而不再如中世紀般用手指頭計算了。但是，隨著時間的流逝與社會的推進，在這段過程中，對新數學的需求上升，然後在適當的時候，這種需求被滿足。教育必須跟上腳步。 數學這一門學科的起源可說是來自於數目與算術的發明，這些發明據說發生在大約一萬年前，隨著貨幣的引入而發生（是的，似乎它始自於貨幣！）。 過了幾個世紀，古埃及人和巴比倫人將這門學問包括進了幾何學與三角學。在這些文明中，數學大部分是功利性的，非常像是「食譜」這類的功用（對數目或幾何圖形作這樣那樣，你就會得到答案）。 大約從西元前500年到西元300年的這一段時間，是所謂的希臘數學時期。古希臘的數學家對幾何特別高度重視，事實上，他們還以幾何的形式來對待數字，將其當成邊的度量；而當他們發現有些邊的長度沒有數可以相對應時（基本上，就是無理數的發現），他們對數目的研究大部分就停滯了下來。 事實上，是希臘人將數學帶入了研究的領域，讓數學不只是測量、數數、核算之類的技術匯集。大約西元前500年，米利都的泰利斯（Thales of Miletus）（米利都為現在土耳其的一部分）引入這樣的想法：正確地陳述的數學主張能夠藉由形式化的數理邏輯所證明。這個創見標誌著定理的誕生，現在已經成為數學的根基。這種希臘人所採取的形式化之進路，在歐幾里得的《幾何原本》出版之後達到顛峰，這本書被譽為是繼《聖經》之後流傳得最廣的一本書。