麻省理工數學博士、《啟蒙的符號》作者揭開機率的神祕面貌
用數學語言破解日常生活中對偶然、機運的迷信，
看見巧合之中不思議的數學本質。

＊北一女資深數學老師·任維勇、資深網路數學教師·陳記住、「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授·賴以威——不偶然推薦！＊

｜機率是一種具有預測力的數學語言，看懂它就能從不可能想像可能——
｜每個巧合故事背後都藏著一個人事時地物加總的發生機率。
｜你可能會問：「怎麼可能這麼巧？」
｜但其實「巧合沒有你想像中的巧！」

如果一般人沒有約定就和親友在異地相逢，或者出差時搭計程車發現司機就是家鄉常看到的那一個，一定會覺得驚奇，或者暗自納悶：「該不會有什麼神秘力量在暗中搞鬼？」而美國名校馬爾波羅學院（Marlboro College）數學系榮譽教授約瑟夫．馬祖爾（Joseph Mazur）承認，就連數學家也常對生活中的無數巧合感到驚訝，但經過分析之後，他說從機率的觀點來看，巧合其實常常發生！

想想看：

‧一個人連中四次樂透的機率為什麼比賭場中大獎的機率還要高？
‧準確率達99.99%以上的DNA刑事證據，為什麼會變成清白人入獄的關鍵？
‧一隻在鍵盤上胡亂敲打的猴子有多高機率會寫出曠世巨作？
‧在倫敦找一本舊書有多難？也許，就跟玩撲克牌時拿到同花順時一樣！
‧在一群人中要找出有兩個人同天生日，竟然跟賭硬幣正反面一樣簡單？

相信「巧合是罕見的」其實是一種迷思——大數法則、隱藏變數理論都能解釋為什麼巧合發生的頻率遠比預期還要高。馬祖爾研究了個人體驗、小說與鄉野傳奇種種離奇情節，整理出十種經典巧合故事類型，每個故事都可先被拆解成數個簡單的算式，再算出人、事、時、地、物相遇和離別的發生機率。同時他也爬梳了中西方哲學家和詩人對「因果」的討論，以及數學家如何發明數學理論的故事，這些創新而且用途廣泛的機率模型理論也讓我們知道何以世界充滿可能性，什麼事都有可能發生。

在這本無巧不成書的機率思想實驗中，書中的每一個巧合故事不僅能用數字來分析，也能幫助讀者理解世界多層次的面貌和不確定性。馬祖爾認為，如今機率已是大數據的重要分析工具之一，如果我們對數字抱持更加理性的態度，就能找到隱身其中的重要變數，破解迷思所帶給我們的困惑和風險，更能參透金融危機訊號、樂透瘋熱潮等重大事件背後的機率真相！

「看似不可能的事真的發生了，是不是代表什麼意義？是人為操作或神祕力量在影響嗎？比如你的一個朋友拿著發票驚呼：『它的末5位數字都是7，不可思議！這機率是十萬分之一！』真是這樣嗎？看了這本書，你就會知道怎麼以簡單的機率方法去檢視與討論這問題：假如我口袋裡有另一張發票，末5位數是36384，其實它的機率也是十萬分之一。末5位數共有十萬種組合，每個機率都是十萬分之一，其實每張發票都是個驚奇！是湊巧還是機率？這問題經常在我們身邊發生，但只要運用數學思維，你就能破除許多生活中的迷思與盲點。」
——北一女資深數學老師·任維勇
 

作者簡介約瑟夫．馬祖爾Joseph Mazur馬爾波羅學院（Marlboro College）數學系榮譽教授，著有數本科普書，包含入圍美國筆會Martha Albrand獎決選名單的作品《雨林中的歐幾里德》（Euclid in the Rainforest: Discovering Universal Truth in Logic and Math）以及《運動悖論》（The Motion Paradox: The 2,500-Year-Old Puzzle Behind All the Mysteries of Time and Space）。他最近一本著作是受到高度評價的《啟蒙的符號：數學符號的誕生、演化和隱藏的力量》（Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers）。他獲得過諸多榮譽，像是古根漢獎助金得主（Guggenheim Fellow）、洛克菲勒協會貝拉吉奧駐村（Rockefeller Foundation Bellagio Residency）及伯利亞斯科獎助金（Bogliasco Fellowship）。著作散見於《華爾街郵報》、《紐約時報》、《衛報》、《科學》雜誌、《自然》雜誌和《Slate》雜誌上。馬祖爾與妻子珍妮佛同住於佛蒙特馬爾波羅。譯者簡介王秋月台大經濟系畢業，曾任出版社編輯，譯有《用安靜改變世界》、《不完美的正義》。歡迎來信賜教：[email protected]

前言第一部分：故事一、特別出眾的時刻二、《鐵幕情天恨》與其他善意的巧合三、有意義的巧合第二部分：數學四、「機會」是什麼意思？五、白努利的禮物六、怎麼拋，硬幣都是正面七、帕斯卡的三角形八、猴子的難題第三部分：分析九、浩瀚世界十、重新回顧第二章的故事第四部分：證據十一、頭部按摩器十二、探索十三、風險十四、特異功能十五、高文爵士與綠衣騎士後記註記致謝

導讀磨練你心中的那把尺賴以威（台師大電機系助理教授、臉譜「數感書系」特約主編）　　幾年前我開始嘗試寫數學科普文章，在累積幾篇作品之後便拿給友人看。　　「是不錯啦…只是為什麼都是機率？」　　「咦？真的嗎？」　　我拿回來一看，明明選了各種不同的生活情境：樂透、巧遇、尾牙抽獎、拜拜，但還真的都跟機率有關。我沒有特別偏愛機率，相反地，我念高中時最討厭考機率，一不小心漏算一個狀況就整題錯。但機率似乎是最活躍的數學知識，生活中無所不在。　　「機率」這個詞也早已走出數學課本（其實所有數學知識都不只存在於數學課本中），而成為許多人的日常詞彙。　　「我覺得下雨機率應該不高。」　　「不要再買樂透了啦，中頭彩機率太低了。」　　「你覺得，他也喜歡我的機率是多少？」　　當機率常被提到，有時候我反而不太知道該怎麼解釋機率。後來，我想到一個比較滿意的譬喻：　　機率就像公尺之於長度，公升之於容量，可以看成一種用來量化「可能性」的單位（但請注意，機率本身沒有單位，比方說你不會說「0.3克的機率」）。如果今天沒有公尺或公分，我們要描述一根木頭，只能說它「長」、「短」、「不長不短」，不精確的形容詞僅提供模糊的輪廓，必須要有長度單位，才能賦予它一個很精準的數字。　　　　同樣地，沒有機率量化的概念，我們只能覺得一件事「很有可能」、「不太可能」，有了機率後，我們才知道世界上幾乎所有事情都不是百分之百可能或不可能，以及很多時候，我們以為的不可能其實是可能。§　　說說國小時跟父親玩21點的往事吧。某年過年在家族聚餐後，我們玩了一兩個小時的撲克牌，快結束前我一口氣壓了100元的賭注，結果輸掉了。在心疼之餘，我忽然想到如果這把加碼200元，只要贏了就能拿回200-100=100，不就贏回來了嗎？　　結果輸了，兩把合計輸300元。平常我一次下注頂多20元，這下你知道300元對當時的我來說是多麼大的金額了。　　不過我沒有太傷心，因為我知道下注400元，只要這次贏了，就可以扭轉局面。我從紅包裡掏出400元。1分鐘後掏出800元。　　　　再1分鐘後用顫抖的手將100元、500元、1000元各一張鈔票放在桌上。　　父親一臉不滿地看著我。　　「你確定要賭這麼大？」　　「發牌吧！」　　現在想想，某種程度上父親見證了自己的兒子在賭場沉淪（他還是推手），也難怪會不開心。但當時我只覺得輸了這麼多把，這次總該贏了吧。　　後來還是輸了，而且印象中，我似乎又再賭了一兩把才放棄。　　假如我連輸6把，每把輸贏的機率是50%，我當天真的是非常不幸，1/64，將近1.6%的機率也碰上了。但如果就每一次評估是否該加碼下注，其實我每一次輸的機率依然是50%，以為前幾次輸了，這次獲勝的機率就會提高，是錯誤的觀念。　　高中學到機率獨立事件時，我很生氣，這麼重要的事情竟然等到高中才說！　　可是既然每次都獨立，長期下來應該是輸贏各一半，那我一開始又輸這麼多次，難道後面贏的機率不會提高嗎？ 　　但換個角度來看，我還是無法完全理解。一直到前陣子我才知道，後面贏的機率不會提高，只是賭了10000局後，只要後面輸贏各5000局，前面這6局也只是讓輸贏變成了5006:5000，輸或贏的機率依然趨近於1/2。重點不是「後面贏的機率會提高」，而是「賭的局數夠多，會沖淡前面不平均的結果」。§　　跟父親賭博是我自己親身經歷的機率故事，本書則記載了許多更經典的案例：　　1. 奧斯卡影帝安東尼‧霍普金斯在電影試鏡後跑去找電影原著小說《鐵幕情天恨》（The Girl From Petrovka）來看，結果在地鐵長椅上發現剛好有一本，更巧的是，掉了這本書的人正是小說的原作者喬治．菲爾。　　2. 1929年美國童書作家安‧派莉絲在巴黎塞納河畔的舊書攤上找到一本二手書，那是她小時候最喜歡的《傑克．佛 斯特和其他故事》（Jack Frost and Other Stories），她開心地用1法郎買下來，翻開扉頁，上面有小孩的筆跡寫著「科羅拉多州，科羅拉多泉，韋伯北街二○九號，安．派莉絲」。這恰恰是她小時候擁有的那本。　　你會覺得這兩件事情都巧合到彷彿冥冥之中有一隻看不見的手在運作。　　或許是，也或許不是。　　比起僅僅是驚呼太不可思議，身為數學家的作者用費米法（Fermi estimate）和其他機率方式去估測各項經典事件的機率。我就不在此劇透各位了，不過你可以猜到，結果比想像中還要「更有可能發生」。　　這也是機率有趣的地方：我們的直覺常常出錯。往往一件事情真實的可能性跟我們直覺感受的不一樣。　　我想這是因為我們活在一個既定的世界。　　好比說擲骰子吧，儘管你知道每一面出現的機率是1/6，但每次我們都只能看到擲出來的單次結果，必須得擲很多很多次，才能讓機率透過統計浮現。骰子可以擲很多次，但人生很多場景只能體驗一次。因為沒辦法重複觀測，很多時候甚至不能對答案，我們沒有機會訓練直覺。　　不過，如同閱讀小說可以讓我們體驗很多不同的人生，閱讀這本《是湊巧還是機率？》可以讓我們體驗許多不同機率事件。作者還很體貼地幫我算出每一則事件的真實機率。於是你可以藉此鍛鍊你心裡的那把尺，在下次預估機率時，估得更精準一點。　　最後問一個前陣子我去演講時被問到的機率問題：和好朋友愛上同一個女孩的機率，與兩個陌生人愛上同一個女孩的機率，哪一個比較高？　　如果你有想法的話，歡迎到「數感實驗室」粉絲頁告訴我們。

巧合、倫敦、安東尼．霍普金斯和一本以為找不到的書（節錄自p.157~）故事一：安東尼．霍普金斯的故事霍普金斯的故事只是同步性的例子之一。只要想一下：《鐵幕情天恨》可能在多少個地方取過景；在霍普金斯看到那本書之前，有多少人可能把那本書拿走；為何霍普金斯是因認出書名而找到那本書，此外，那還是特別的一本：作者喬治．菲佛的書。然後想想霍普金斯坐在那本書旁邊卻沒有留意到它的機率：相似版本故事——或許是更好的版本——的發生經過可能是一樣的，但霍普金斯永遠不會知道他曾看到那本書，我們也就不會聽到這個故事。這故事之所以這麼受矚目，原因之一是因為涉及特定的人，而且那還是一位公眾人物。怎麼看都令人嘆為觀止，主要是因為這件事發生在我們知道的人身上。霍普金斯的故事真的是這麼特別的巧合事件嗎？我們會覺得它是，但這感覺從何而來呢？這故事或許獨特，但我們有什麼資訊可以證明嗎？並沒有數據能讓我們對於抽象的可能性有所印象。沒錯，故事的眾多發生原因可能是同步的，但若要釐清同步性與數學合理性之間的差異，我們得看一些數據：被遺忘在車站的書籍數量、倫敦市中心的書店數量以及每天進城來找特定書籍的人數。這個故事發生在一九七六年，時間點很重要，因為當時沒有網路，也沒有購書網站亞馬遜，為了找書而漫步閒逛是尋常的事。那時候，要省下大把時間親自去書店找書的最簡單方式，就是打電話到每家書店去問。要分析霍普金斯的故事，我們得把倫敦城的尺寸考量進去。在寫作本書的這個網際網路時代，倫敦有一百一十一家小型獨立書店。為求生存，每家書店平均每天得吸引至少十位讀者購書。保守估計，這些書店加起來每天至少銷售一千本書。更接近實際狀況的估計值為大約三千本書。有些人只是隨意瀏覽，也有些人來尋找特定的、本來就想買的書，還有些人只是進來躲雨或是打發閒暇時間。讓我們假設，每天只有一百個人來買書名為X的書。這一百個人之中，不太可能會有人在地下鐵車站的長椅上找到他們正在找尋的書，但讓我們藉此機會來思考，意外地把書留在公共場所的人有多少，而又有多少人在火車上及火車站內看完書後，會在他們搭的火車離開之前把書丟棄。